\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\usepackage[ngerman]{babel}


\author{Thomas Ruschival}
\title{HF Formelsammlung}
\date{\today{}}

\begin{document}
\maketitle


\newpage
\section{ED-Grundlagen}


Felder:
\[ \vec{E}(t,\vec{r})= \vec{E}_{0}e^{j(\omega t-\vec{k}\vec{r})} \qquad
\vec{H}(t,\vec{r})= \vec{H}_{0}e^{j(\omega t-\vec{k}\vec{r})}
\]
\\
Elektrostatischer Fluss:\\
Allgemein:
\[\vec{D} = \epsilon_{0}\vec{E} + \vec{P} \qquad \vec{B} = \mu_{0}\vec{H} + \vec{M}\]\\
Lineare Medien:
\[\vec{D} = \epsilon_{0}\epsilon_{r}\vec{E} \qquad \vec{B} = \mu_{0}\mu_{r}\vec{H}\]\\
\\
Polatisation:  \[\vec{P} = \epsilon_{0}\chi\vec{E} \qquad \chi = \epsilon_{r}-1\] \\
Magnetisierung: \[\vec{M} = \mu_{0}\chi_{m}\vec{H} \qquad \chi_{m} = \mu_{r}-1\]  \\
\\
Leiterstromdichte:\[\vec{J} = \kappa \vec{E}\] \\
Verschiebungsstromdichte:\[ \frac{\partial\vec{D} }{\partial t} = \epsilon_{0}\epsilon_{r}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} =
j\omega \epsilon_{0}\epsilon_{r} \vec{E}\]\\
\\
Ladung: \[\oint\vec{D}d\vec{A}=\iiint\mathbf{div}\vec{D}dV=\iiint\rho dV=Q\] \\
Polarisationsladung: \[\rho_{p} = -\mathbf{div}\vec{P} \qquad \sigma_{p} = \vec{P}\cdot\vec{n}\]\\
fiktive Magnetisierungsladungen: \[\rho_{m} = -\mathbf{div}\vec{m} \qquad\sigma_{m} = \vec{M}\cdot\vec{n}\]\\
Magnetisierungsstromdichten:\[\vec{J}_{mag} = \dfrac{\mathbf{rot}\vec{M}}{\mu_{0}} \qquad k_{mag}=\dfrac{\vec{M}}{\mu_{0}}\times\vec{n}\]
\\
Kontinuitätsgleichung: \[\mathbf{div}\vec{J}+\dfrac{\partial\rho}{\partial t}=0\]
\\
Quellenfreiheit:\[\mathbf{rot}\vec{E}= 0  \Longleftrightarrow \oint\vec{E}d\vec{s} = 0\]
\[\mathbf{div}\vec{B}=0 \Longleftrightarrow \iint \vec{B} d\vec{A} = 0\]\\



\subsection{Durchflutungsgesetz:}
\[\underbrace{\oint \vec{H}\,d\vec{s}}_{Durchflutung} = \iint \vec{J}\,d\vec{A} =\int\int(\underbrace{\kappa}_{L.Stromdichte} + \underbrace{j\omega \epsilon_{0}\epsilon_{r}}_{V.Stromdichte}) \vec{E} d\vec{A} = I_{gesamt} \] \\
\\
\[
\mathbf{rot}\vec{H} = \begin{bmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x}\\
\dfrac{\partial}{\partial y}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}
\end{bmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
H_{x}\\
H_{y}\\
H_{z}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial y}H_{z} - \dfrac{\partial}{\partial z}H_{y}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}H_{x} - \dfrac{\partial}{\partial x}H_{z}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}H_{y} - \dfrac{\partial}{\partial y}H_{x}
\end{pmatrix}
=
\vec{J}+\dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}
=
(\kappa + j\omega \epsilon_{0}\epsilon_{r}) \vec{E}
\] \\


\subsection{Induktionsgesetz:}
\[\underbrace{\iint\vec{B}\,d\vec{A}}_{magnetischer Fluss}=L\cdot I=\Phi\]\\
\[\mathbf{rot} \vec{E} = \begin{bmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x}\\
\dfrac{\partial}{\partial y}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}
\end{bmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
E_{x}\\
E_{y}\\
E_{z}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial y}E_{z} - \dfrac{\partial}{\partial z}E_{y}\\
\dfrac{\partial}{\partial z}E_{x} - \dfrac{\partial}{\partial x}E_{z}\\
\dfrac{\partial}{\partial x}E_{y} - \dfrac{\partial}{\partial y}E_{x}
\end{pmatrix}
=
-\mu_{0}\mu{r}\dfrac{\partial \vec{H}}{\partial t} = -j\omega\mu_{0}\mu{r}\vec{H}
\Longleftrightarrow -\iint\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} d\vec{A} = \oint \vec{E} d\vec{s}\]

\subsection{Differenzialgleichungen und Randbedingungen}

\[\bigtriangleup\phi = -\dfrac{\rho}{\epsilon_{0}} \qquad \bigtriangleup A= - \mu_{0}\vec{J}\]
\[\phi_{1}\,=\,\phi_{2}\]  \[ A_{1}\,=\,A_{2}\]
\[\left( \vec{D}_{2}-\vec{D}_{1}\right) \cdot \vec{n}\,=\,\sigma\]
\[\vec{n}\times\left( \vec{H}_{2}-\vec{H}_{1}\right)\,=\,k_{frei}\]
\[\vec{E}_{1t}\,=\,\vec{E}_{2t} \qquad \vec{H}_{1t}\,=\,\vec{H}_{2t}\]
\[\epsilon_{0}\epsilon_{r1}\vec{E}_{1n}\,=\,\epsilon_{0}\epsilon_{r}\vec{E}_{2n}\]  \[\mu_{0}\mu_{r1}\vec{H}_{1n}\,=\,\mu_{0}\mu_{r2}\vec{H}_{2n}\]
\[\left( \vec{J}_{2}-\vec{J}_{1}\right) \cdot \vec{n}\,=\,-\dfrac{\partial\sigma}{\partial t}\]


\subsection{Wellengleichung}

Annahme: \[\vec{E} = E_{y}(z) e^{j(\omega t -kr)} \quad \Rightarrow H_{y},H_{z} \overset{!}{=} 0 \]\\
Aus Durchflutungsgesetz:
\begin{equation}\label{E:Wg}
\dfrac{\partial H_{x}}{\partial z} = j\omega\epsilon E_{y}  \\
\end{equation}
Aus Induktionsgesetz:
\begin{equation}
\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z} = -j\omega\mu H_{x}
\end{equation}
(2) nach z ableiten:
\begin{equation}
\dfrac{\partial^2 E_{y}}{\partial z^2} = j\omega\mu \dfrac{H_{x}}{\partial z} \,\Rightarrow\quad \dfrac{\partial H_{x}}{\partial z} = -\dfrac{1}{j\omega\mu}\dfrac{\partial^2 E_{y}}{\partial z^2}
\end{equation}
(3) in (1):
\begin{equation}
\dfrac{1}{j\omega\mu}\dfrac{\partial^2 E_{y}}{\partial z^2} - j\omega\epsilon E_{y} =0 \,\Rightarrow\quad
\dfrac{\partial^2 E_{y}}{\partial z^2} + \underbrace{\omega^2\epsilon\mu}_{\beta_{0}^2} E_{y} =0
\end{equation}
Annahme:
\begin{equation}
E_{y}=E e^{\gamma z} \Rightarrow \gamma^{2}=-\beta_{0}^{2} \Rightarrow \gamma=\pm j\beta
\end{equation}
Allgemeine Lösung:
\begin{equation}
E_{y}(z) = E_{h}e^{-j\beta_{0}z}+E_{r}e^{+j\beta_{0}z}
\end{equation}

\subsubsection{Wellenkenngrößen}
Phasengeschwindigkeit:  \[ v_{p0}= c_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}} \]\\
Phasenkonstante:\[ \beta_{0}=\dfrac{2\pi}{\lambda_{0}}=\dfrac{\beta_{0}}{c_{0}}=\omega\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}\]\\
Feldwellenwiederstand:\[
\dfrac{\left|\vec{E}\right|}{\left|\vec{H}\right|} = Z_{F0}=\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}}}=\dfrac{1}{c_{0}\epsilon_{0}}=c_{0}\mu_{0}=\dfrac{\beta_{0}}{\omega\epsilon_{0}}
=\dfrac{\omega\mu_{0}}{\beta_{0}}\]

\subsection{Leistung}
\[ P=\dfrac{1}{2}\Re\left\lbrace{U\cdot I^{*}}\right\rbrace = \dfrac{1}{2}\Re\left\lbrace{(U_{h}+U_{r})\cdot \dfrac{(U_{h}-U_{r})}{Z_{L}}}\right\rbrace \]
\[ P= \dfrac{\left| U_{h}\right|^{2}-\left| U_{r}\right|^{2}}{2Z_{L}} = \dfrac{\left| U_{h}\right|^{2}}{2Z_{L}}\cdot \left(1- \left| r_{2} \right|^{2} \right) \]
Streifenleitung:
\[ P = \dfrac{1}{2}\Re\left\lbrace{\vec{E_{y}}b\cdot \vec{H_{-x}}a}\right\rbrace \qquad
\dfrac{P}{ab} = s = \dfrac{1}{2}\Re\left\lbrace{\vec{E}\cdot \vec{H}}\right\rbrace \quad \text{s=em Wirkleistungsdichte}
\]
Wellen:
\[
\vec{s} = \dfrac{1}{2}\Re\left\lbrace{\vec{E}\times \vec{H^{*}}}\right\rbrace \qquad |\vec{s}|=\dfrac{1}{2 Z_{F0}}\Re\left\lbrace{\vec{E}\cdot \vec{E^{*}}}\right\rbrace = \dfrac{1}{2 Z_{F0}} |\vec{E}|^{2}
\]
\newpage

\section{Leitungen}
Beläge:
\[
\dfrac{\partial U}{\partial z}=-j\omega L'I \quad \dfrac{\partial I}{\partial z}=-j\omega C' U
\]
\[
L'=\dfrac{Z_{L}}{v_{p}}\quad C'=\dfrac{1}{Z_{L}v_{p}} \quad v_{p}=\dfrac{1}{\sqrt{L'C'}} \quad Z_{L}=\dfrac{L'}{C'}
\]
\subsection{verlustlose fehlangepasste Leitung}
\[ U(z) = U_{h}e^{-j\beta z}+ U_{r}e^{+j\beta z}  \qquad I(z)=\dfrac{U_{h}}{Z_{L}} e^{-j\beta z}-\dfrac{U_{hr}}{Z_{L}}e^{j\beta z} \]
\subsubsection{Reflexionsfaktor:}
\[
r(z) = \dfrac{U_{h}e^{-j\beta z}}{U_{r}e^{j\beta z}}
\]
\[
r_{2}=r|_{z=0}=\dfrac{U_{h}}{U_{r}} \quad r_{2}=\dfrac{Z_{2}-Z_{L}}{Z_{2}+Z_{L}} = \dfrac{\dfrac{Z_{2}}{Z_{L}}-1}{\dfrac{Z_{2}}{Z_{L}}+1}
\]
\[
r_{1}=r|_{z=-l}=\dfrac{U_{h}e^{-j\beta l}}{U_{r}e^{j\beta l}}=\underbrace{\dfrac{U_{h}}{U_{r}}}_{r_{2}}e^{-j2\beta l}
\]
Transmission: \[t_{12}=1+r \]\\
\subsection{Impedanztransformation}
\[
U_{1} = U_{2}\left(cos(\beta l) +j\dfrac{Z_{L}}{Z_{2}}sin(\beta l) \right)
\]
\[
I_{1} = I_{2}\left(cos(\beta l) +j\dfrac{Z_{2}}{{Z_L}}sin(\beta l) \right)
\]
\[
Z_{1} = Z_{L}\dfrac{1+j\dfrac{Z_{L}}{Z_{2}}tan(\beta l) }{1 + j \dfrac{Z_{2}}{Z_{L}}tan(\beta l) }
\]
Impedanzinverter:
\[
Z_{1}=\dfrac{Z_{L}^{2}}{Z_2}
\]
\newpage
\subsection{gedämpfte Leitung}
Einführung von Komplexem \underline{$\mu$}, \underline{$\epsilon$}:
\[
\dfrac{\partial H_{x}}{\partial z}=j\omega\underbrace{ C'\dfrac{a}{b}\left(1+\dfrac{G'}{j\omega C'}\right)}_{\underline{\epsilon}}\underbrace{\dfrac{U}{b}}_{E_{y}}
\qquad
\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z}=j\omega\underbrace{ L'\dfrac{a}{b}\left(1+\dfrac{R'}{j\omega L'}\right)}_{\underline{\mu}}H_{x}
\]
\[
\underline{\mu}=|\mu|e^{-j\delta_{\mu}} \qquad \underline{\epsilon}=|\epsilon|e^{-j\delta_{\epsilon}}
\]
Dämpfung $\alpha$:
\[
\alpha=\dfrac{R'}{2Z_{L}}+\dfrac{G'}{2Y_{L}} \quad in \left[\dfrac{Np}{m}\right] \quad Y_{L}=\dfrac{1}{Z_{L}}\]
\\
\[\left[ \dfrac{Np}{m}\right] = 8,6 \left[\dfrac{dB}{m}\right] \]
\[ U(z) = U_{h}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+ U_{r}e^{\alpha z}e^{+j\beta z}  \qquad I(z)=\dfrac{U_{h}e^{-\alpha z}}{Z_{L}} e^{-j\beta z}-\dfrac{U_{hr}e^{\alpha z}}{Z_{L}}e^{j\beta z} \]



\subsubsection{Reflexionsfaktor}
\[
r(z) = \dfrac{U_{h}e^{\alpha z}e^{-j\beta z}}{U_{r}e^{-\alpha z}e^{j\beta z}} \quad \Rightarrow \quad r_{1} = r_{2}e^{-2\alpha l}e^{-2\beta l}
\]\\

\section{Skineffekt}
Eindringtiefe $\delta$:
\[
\delta = \sqrt{\dfrac{2}{\omega \mu_{0} \mu_{r} \kappa}} \qquad \delta_{Cu}\approx\dfrac{66}{\sqrt{\dfrac{f}{MHz}}}
\qquad
J_{L}(y)=J(0)e^{\dfrac{y}{\delta}}e^{j\dfrac{y}{\delta}} \]
\\
Impedanz: \[Z=Z_{\square} (\underbrace{1}_{R'}+\underbrace{j}_{X'}) \]\\
Belag: \[ Z'=\dfrac{Z_{F0}}{\sqrt{c}}\dfrac{b}{a} \]
\\
Oberflächenimpedanz:
\[
R_{\square}=X_{\square}=\underbrace{\sqrt{\dfrac{\omega \mu}{2 \kappa}}}_{\dfrac{1}{\delta \kappa}} \sim\sqrt{f\dfrac{\mu_{r}}{\kappa}}\quad
Z_{\square}=\sqrt{\dfrac{\mu\omega}{2\kappa}} \quad
Zylinder: Z_{\square}\dfrac{l}{d\pi}    \quad
Streifen: Z_{\square}\dfrac{\bigtriangleup l}{a}
\]
Koaxialleitung:
\[
Z_{koax}=\dfrac{60\Omega}{\sqrt{\epsilon_{r,eff}}}ln\left(\dfrac{D}{d}\right) \qquad    R'=\dfrac{1}{\pi\delta\kappa}\left( \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{D}\right)
\]


\newpage
\section{Konzentrierte Elemente:}
\subsection{Induktivitäten}
kurzgeschlossene Leitung, $\beta l \ll 1 \quad X_{1}=\omega L' l$ \\
Verlustbehaftete Spule:
\[
\underline{Z}= j\omega\underline{L}=j\omega\dfrac{n^2}{\underline{R_{m}}}=j\omega n^2 \dfrac{\mu_{0}\mu_{r} A}{l}=\dfrac{j\omega n^2 A \mu_{0}(\mu_{r}'-j\mu_{r}'')}{l} = j\omega L+\omega L \underbrace{\dfrac{\mu_{r}''}{\mu_{r}'}}_{tan(\delta_{\mu})}
\]
Verlustfaktor:
\[
tan(\delta_{\mu})=\dfrac{\mu_{r}''}{\mu_{r}'} \quad \underline{\mu_{r}}=\underbrace{\mu_{r}'}_{\mu_{0}\mu_{r}}(1-tan\delta_{\mu})
\]
Verluste im Ferrit:
\[
R_{Fe}=\omega L tan(\delta_{\mu}) \qquad \mu_{r}= |\mu_{r}|e^{-j\delta_{\mu}} \qquad tan\delta_{\mu ,eff}=\dfrac{R_{Fe}}{\omega L}
\]
Güte:
\[
Q_{L}=\dfrac{X}{R}=\dfrac{\omega L}{R_{s}}=\dfrac{P_{B}}{P}=\dfrac{1}{tan\delta_{L}}
\quad
R_{s}={R_{Cu}+R_{Fe}}
\]
Näherung für $R_{Cu}\rightarrow 0 : tan\delta_{L}=tan\delta_{\mu} $
\\
Umrechnung in Parallelschaltung: $Q_{L}\gg 10 \rightarrow R_{p}=\dfrac{X_{L}^2}{R_{s}}$

\subsection{Kapazitäten}
offene verlustlose Leitung $\beta l \ll 1 \quad B_{1}=\omega C' l $ \\
Verlustfaktor:
\[
tan\delta_{\epsilon} = \dfrac{\epsilon_{r}''}{\epsilon_{r}''}=\dfrac{G_{p}}{\omega C} \qquad \underline{\epsilon}=\epsilon_{r}'-j\epsilon_{r}''
\]
Umrechung in Seriellschaltung: $tan\delta_{C} \ll 0,1 : R_{s}=\underbrace{\dfrac{1}{\omega C}^2}_{X_{C}^2} \dfrac{1}{R_{p}}$
\\
\section{Resonanzschaltungen}
\subsection{konzentrierte Elemente und allgemeines}
Resonanzblindwiderstand/-leitwert:
\[
X_{R}=\dfrac{1}{\omega_{R}C}=\omega_{R}L=\sqrt{\dfrac{L}{C}} \qquad B_{R}=\dfrac{1}{\omega_{R}L}=\omega_{R}C=\sqrt{\dfrac{C}{L}}
\]
Kreisgüte:
\[
Q_{k}=\dfrac{B_{R}}{G_{k}}=\dfrac{R_{k}}{X_{R}}=\dfrac{\omega_{R} w_{max}}{P}
\]
Normierte verstimmung:
\[
F=Q_{k}\left(\dfrac{f}{f_{r}} - \dfrac{f_{r}}{f} \right) \Rightarrow \quad
\underline{Y_{k}}=G_{k}(1+jF) \quad
\underline{Z_{k}}=R_{k}(1+jF)
\]
Bandbreite:
\[
\dfrac{b_{k}}{f_{r}}=\dfrac{f_{o}-f_{u}}{f_{r}}=\dfrac{1}{Q_{k}}
\]
Resonanzfrequenz:
\[
f_{r}=\sqrt{f_{o}f_{u}}
\]
Schmalbandnäherungen gültig für $ f\approx f_{r} $
\[
F \approx Q_{k}\dfrac{2\bigtriangleup f}{f_{r}} = \dfrac{2\bigtriangleup f}{b_{k}} \qquad f_{o,u}\approx f_{r}\pm\dfrac{b_{k}}{2}
\]
Kompensation:
\[\sqrt{\dfrac{X_{R}}{B_{R}}}=R_{i} \qquad \dfrac{P}{P_{max}}=\left(\dfrac{U}{U_{max}}\right)^2=\dfrac{1}{1+F^2} \]
\subsection{Leitungsresonatoren}
\[
Z_{1}=j Z_{L} tan(2\pi \dfrac{l}{v_{P}}f) = jX(f) \qquad  Y_{1}=-j Z_{L} cot(2\pi \dfrac{l}{v_{P}}f) = jX(f) = -j B(f)
\]
Resonanzleitwert/-widerstand:
\[
\quad B_{R}=\dfrac{\pi}{4 Z_{L}} \qquad X_{R}=\dfrac{\pi}{4}\left(Z_{L1}-\dfrac{Z_{L1}^3}{R_{a}} \right)
\]
Parallelresonanz:
\[
l=\dfrac{\lambda_{r}}{4} \quad G_{v}=\dfrac{\lambda_{r}}{8}Y_{L}^2 \underbrace{R'}_{Leitungsbelag}
\]
Güte:
\[
Q_{u}=\dfrac{B_{r}}{G_{v}}=\dfrac{\pi}{\alpha \lambda_{r}} \sim\sqrt{f_{r}} \qquad Q_{k}=\dfrac{B_{r}}{G_{k}}
\]
\newpage
\section{Smith Diagram}
\def\xbase{40}				% rand nach links
\def\ybase{160}				% mittellinie durch das bild

\def\imradmin{10}			% minimaler radius fuer kreise Img{} = konst
\def\imradmax{500}			% maximaler radius fuer kreise Img{} = konst
\def\imnumcircles{10}		% anzahl kreis Img{} = konst

\def\reradmin{10}			% minimaler radius fuer kreise Re{} = konst
\def\reradmax{80}			% maximaler radius realteil  re{}=0
\def\renumcircles{6}		% anzahl kreis Re{} = konst

% logarithmisches skalen inkrement berechen
\FPeval\imlogdiff{(ln(\imradmax)-ln(\imradmin))/\imnumcircles}
\FPeval\relogdiff{(ln(\reradmax)-ln(\reradmin))/\renumcircles}

	 \psset{unit=.5mm} % wichtig _VOR_ dem bildchen einheiten definieren
\begin{pspicture}[](10,250)(240,50)
  \psset{linewidth=.2mm}
  \psline(\xbase,\ybase)(200,\ybase) 	% Gerade Im{} = 0

  % Kreise Re{}=konstant
  % !multido hat variablen typ im variablen name: \ixx = integer , \rxx = real
  \multido{\rcnt=1.0+1.0}{\renumcircles}{%
	\FPeval\radius{round(exp(ln(\reradmin)+\rcnt*\relogdiff):2)}
	\FPeval\xoffset{\xbase+2*\reradmax-\radius}
	\pscircle[linewidth=.2](\xoffset,160){\radius}
  }


  % positiver Imaginärteil
  \multido{\rcnt=1.0+1.0}{\imnumcircles}{%
    \FPeval\radius{round(exp(ln(\imradmin)+\rcnt*\imlogdiff):2)}
    \FPeval\arcyoffset{round( (\ybase + \radius):2) } % Mittelpunk y koordinate der konst-Img kreise
    \FPeval\arcangle{ round(270-2*(arctan( \reradmax/ round(\radius:4)) *180 / \FPpi) :4)} % winkel in abhängikeit des radius
    \psarc[linewidth=.2](200,\arcyoffset){\radius}{\arcangle}{-90}
  }%

  % negative Imaginäre Hälfte
  \multido{\rcnt=1.0+1.0}{\imnumcircles}{%
    \FPeval\radius{round(exp(ln(\imradmin)+\rcnt*\imlogdiff):2)}
    \FPeval\arcyoffset{round( (\ybase - \radius):2) } % Mittelpunk y koordinate der konst-Img kreise
    \FPeval\arcangle{ round(90+2*(arctan( \reradmax/ round(\radius:4)) *180 / \FPpi) :4)} % winkel in abhängikeit des radius
    \psarc[linewidth=.2](200,\arcyoffset){\radius}{90}{\arcangle}
  }%

  % beispielkreise
  \pscircle[linewidth=.2](160,160){40}
  \pscircle[linewidth=.2](80,160){40}
  \psarc[arrows=->,linewidth=1, linecolor=red](80,160){40}{0}{70}
  \put(100,180){ \red  $L_{p}$} \psarc[arrows=<-, linewidth=1, linecolor=blue](80,160){40}{290}{0}
  \put(100,140){ \blue $C_{p}$}
  \psarc[arrows=<-, linewidth=1,linecolor=red](160,160){40}{110}{180}
  \put(130,180){ \red  $L_{s}$} \psarc[arrows=->, linewidth=1,  linecolor=blue](160,160){40}{180}{250}
  \put(130,140){ \blue $C_{s}$}

  % legende
  \pstextpath[c](0,5){\psarcn[arrows=->](120,160){85}{170}{110}} {Zum  Generator}
  \pstextpath[c](0,-8){\psarc[arrows=->](120,160){85}{190}{230}} {Zur  Last}
  \put(0,165){ Imp: KS}
  \put(0,145){ Adm: LL}
\end{pspicture}



Bauteilwerte:
\[ C_{p}=\dfrac{\Delta B}{\omega Z_{L}} \qquad L_{p}=\dfrac{-Z_{L}}{\omega \Delta B} \]
\[ C_{s}=-\dfrac{1}{\omega Z_{L}\Delta X}  \qquad L_{s}=\dfrac{\Delta X Z_{L}}{\omega} \]
\\
\subsection{Bauelemente durch Leitung ersetzen:}
\begin{enumerate}
  \item{Ltg kurzgeschlossen: vom KS-Punkt in Richtung Generator (Last ist hier der KS) bis du dem Punkt auf dem äusseren Kreis des Diagrams der das Bauelement darstellt.}
  \item{Ltg offen: vom LL-Punkt in Richtung Generator (Last ist hier der LL) bis du dem Punkt auf dem äusseren Kreis des Diagrams der das Bauelement darstellt}
\end{enumerate}

 \textbf{! ACHTUNG ! Leitung transformiert auf Kreis mit konstantem Reflexionsfaktor !   }
\newpage
\section{Filter}
\subsection{Butterworth}
\subsubsection{Filterkoeffizienten}

\[g_{i}=2 sin\left( \dfrac{(2i-1) \pi}{2n} \right) \]\\


\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\backslashbox{$g_{i}$}{Ordnung}& 1 &2 &3 &4 &5&6 &7&8&9 \\
\hline
1 & 2.0000 & 1.4142 & 1.0000 & 0.7654 & 0.6180 & 0.5176 & 0.4450 & 0.3902 & 0.3473 \\ \hline
2 &             &          1.4142 & 2.0000 & 1.8478 & 1.6180 & 1.4142 & 1.2470 & 1.1111 & 1.0000 \\ \hline
3 &             &               &          1.0000 & 1.8478 & 2.0000 & 1.9319 & 1.8019 & 1.6629 & 1.5321 \\ \hline
4 &             &               &               &          0.7654 & 1.6180 & 1.9319 & 2.0000 & 1.9616 & 1.8794 \\ \hline
5 &             &               &               &               &          0.6180 & 1.4142 & 1.8019 & 1.9616 & 2.0000 \\ \hline
6 &             &               &               &               &               &          0.5176 &   1.2470 & 1.6629 & 1.8794 \\ \hline
7 &             &               &               &               &               &               &          0.4450 &   1.1111 &   1.5321 \\ \hline
8 &             &               &               &               &               &               &                 &        0.3902 &   1.0000 \\ \hline
9 &             &               &               &               &               &               &               &               &          0.3473 \\ \hline
\end{tabular}

\end{document}
